Для работы Вам необходимо импортировать функцию InetIsOffline из URL.DLL:

function InetIsOffline(Flag: Integer): Boolean;
stdcall; external 'URL.DLL';

а затем поместить в программу простой вызов функции для проверки статуса соединения:

if InetIsOffline(0) then
  ShowMessage('This computer is not connected to Internet!')
else
  ShowMessage('You are connected to Internet!');

но ещё нужно учитывать, что функция эта выдает false не только, когда комп подключен к Интернету, но и когда ЕЩЕ НЕ БЫЛО ПОПЫТОК подключения (or if no attempt has yet been made to connect to the Internet), как сказано в официальной документации Microsoft по MSDN...

Да, умом Microsoft не понять!